分析 · ★★★
Dirichlet 积分
证明 \[\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.\]
提示 1
考虑含参积分 \(I(t)=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-tx}\,dx\)，对 \(t\) 求导。
提示 2
\(I'(t)=-\int_0^\infty e^{-tx}\sin x\,dx=-\frac{1}{1+t^2}\)，且 \(I(\infty)=0\)。
解答
于是 \(I(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan t\)，令 \(t\to0^+\)（需论证一致收敛以交换极限与积分）即得 \(I(0)=\frac{\pi}{2}\)。另一种方法：在复平面上对 \(\frac{e^{iz}}{z}\) 沿带缺口的上半圆周积分，用 Jordan 引理。
级数 · ★★★★
Basel 问题
证明 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\]
提示 1
在 \([-\pi,\pi]\) 上将 \(f(x)=x^2\) 展开为傅里叶级数（见实验 03）。
提示 2
\(x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos nx\)，代入 \(x=\pi\)。
解答
令 \(x=\pi\)：\(\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum\frac1{n^2}\)，故 \(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\)。欧拉最初的“证明”是比较 \(\frac{\sin x}{x}=\prod_{n}\left(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)\) 与泰勒级数中 \(x^2\) 的系数 —— 后来由 Weierstrass 分解定理严格化。
线性代数 · ★★★
斐波那契的闭式
设 \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)，\(F_0=0,F_1=1\)。利用 \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) 的对角化求出 \(F_n\) 的通项。
提示
\(\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)，特征值满足 \(\lambda^2=\lambda+1\)。在实验 07 中选“斐波那契”看看它的特征向量！
解答
\(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2},\ \psi=\frac{1-\sqrt5}{2}\)，得 Binet 公式 \[F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}.\]
微积分 · ★★
谁让 x 的 x 次方最小？
对 \(x>0\)，求函数 \(f(x)=x^x\) 的最小值，以及取到最小值时的 \(x\)。
提示 1
指数和底数都在变，先取对数：\(\log f(x)=x\log x\)。
提示 2
对 \(g(x)=x\log x\) 求导，找出 \(g'(x)=1+\log x\) 的零点，并判断导数符号。
解答
\(g'(x)\) 在 \((0,e^{-1})\) 为负，在 \((e^{-1},\infty)\) 为正。因此 \(g\) 在 \(x=e^{-1}\) 取得全局最小值 \(-e^{-1}\)。指数函数严格递增，故 \[\min_{x>0}x^x=e^{-1/e}.\]
积分与级数 · ★★★
对数积分里的 π
计算 \[\int_0^1\frac{\log(1+x)}{x}\,dx.\] 在 \(x=0\) 处将被积函数连续延拓为 \(1\)。
提示 1
使用 \(\log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^n/n\)，逐项积分后会得到什么级数？
提示 2
交错级数的余项不超过 \(x^{N+1}/(N+1)\)。除以 \(x\) 再积分，余项的积分不超过 \(1/(N+1)^2\)。
解答
由提示中的余项估计可严格逐项积分，得到 \(\sum_{n\ge1}(-1)^{n+1}/n^2\)。将偶数项从 \(\zeta(2)\) 中扣去两次：\[\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\left(1-\frac{2}{4}\right)\zeta(2)=\frac{\pi^2}{12}.\]
线性代数 · ★★★
投影矩阵的秩与迹
实方阵 \(P\) 满足 \(P^2=P\)。证明 \[\operatorname{rank}P=\operatorname{tr}P.\] 这里不要求 \(P\) 对称。
提示 1
把任意向量拆成 \(v=Pv+(v-Pv)\)。这两项分别属于哪个子空间？
提示 2
\(Pv\in\operatorname{im}P\)，\(v-Pv\in\ker P\)，并且两个子空间的交只有零向量。
解答
\(\mathbb R^n=\operatorname{im}P\oplus\ker P\)。在这两个子空间的基拼成的基下，\(P\) 的矩阵为 \(\operatorname{diag}(I_r,0)\)，其中 \(r=\operatorname{rank}P\)。迹在相似变换下不变，所以 \(\operatorname{tr}P=r\)。
概率 · ★★★
23 个人的生日巧合
假设一年有 365 天，每个人的生日独立且均匀分布。23 个人中，至少两个人生日相同的概率是否超过一半？
提示 1
直接数“至少有一对”容易重复计数，改为先算所有人生日互不相同的概率。
提示 2
依次安排生日。第二人避开第一人的生日有 364 种选择，第三人要避开前两人的生日，依此类推。
解答
生日各不相同的概率为 \(\prod_{k=0}^{22}(365-k)/365\)，所以至少两人同生日的概率为 \[1-\prod_{k=0}^{22}\left(1-\frac{k}{365}\right)\approx0.5073.\] 约为 50.73%，确实超过一半。
组合 · ★★
二项式系数的平方和
对整数 \(n\ge0\)，不用展开阶乘，证明 \[\sum_{k=0}^{n}\binom nk^2=\binom{2n}{n}.\]
提示 1
将 2n 个不同的元素分成大小均为 n 的两组，从中选出 n 个元素。
提示 2
若从第一组选 k 个，就要从第二组选 n−k 个。再利用 \(\binom n{n-k}=\binom nk\)。
解答
直接从 2n 个元素中选 n 个有 \(\binom{2n}n\) 种方法。按第一组被选中的个数 k 分类，得到 \(\sum_{k=0}^n\binom nk\binom n{n-k}\)。这些情况互不重叠且涵盖所有选择，故得到所需恒等式。这也是 Vandermonde 恒等式的一个特例。
数论 · ★★
相邻斐波那契数为什么互质？
设 \(F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)。证明对所有整数 \(n\ge1\)，都有 \[\gcd(F_n,F_{n+1})=1.\]
提示 1
欧几里得算法允许把较大的数减去较小的数，而不改变最大公因数。
提示 2
当 \(n\ge2\) 时，\(\gcd(F_{n+1},F_n)=\gcd(F_n,F_{n+1}-F_n)=\gcd(F_n,F_{n-1})\)。
解答
不断使用递推关系和欧几里得算法，最终归约为 \(\gcd(F_2,F_1)=\gcd(1,1)=1\)。\(n=1\) 时结论直接成立，因此所有相邻斐波那契数都互质。