复函数 \(f:\mathbb C\to\mathbb C\) 需要四维才能画出图像。定义域着色在点 \(z\) 处涂一种颜色：色相表示辐角 \(\arg f(z)\)，明暗条纹表示 \(\log|f(z)|\) 的等高线。所有颜色汇聚成“风车”的地方就是零点或极点 —— 绕一圈色相转过几次，就是它的阶数（辐角原理）。

迭代 \(z_{n+1}=z_n^2+c\)。固定 \(z_0=0\)、让 \(c\) 变化，有界的 \(c\) 组成 Mandelbrot 集；固定 \(c\)、让 \(z_0\) 变化，得到 Julia 集。在左图上移动：右侧 Julia 集随 \(c\) 实时变形，细线是 \(0\) 的迭代轨道。轻点锁定 / 解锁 \(c\)，滚轮放大，拖动平移。

把闭曲线看作复值周期函数 \(f(t)=\sum_{n} c_n e^{2\pi i n t}\)，\(c_n=\int_0^1 f(t)e^{-2\pi i n t}dt\)。每一项都是一个匀速旋转的圆 —— 托勒密的“本轮”以傅里叶分析的形式复活。在画布上按住拖动画任意图形，看圆如何复现它。

二维自治系统 \(\dot x=f(x,y),\ \dot y=g(x,y)\) 的每条解都是相平面上的一条流线。数千个粒子按四阶龙格–库塔法流动，亮度表示速率。观察汇、源、鞍点、中心，以及 Van der Pol 方程中吸引一切的极限环。轻点画布投放粒子；参数 \(a\) 可在表达式中使用。

曲面 \(z=f(x,y)\) 在每一点有切平面 \(z=f+f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)\)，梯度 \(\nabla f\) 指向上升最快的方向。拖动旋转、滚轮缩放；悬停显示切平面、梯度与高斯曲率；双击曲面放下小球，看它沿 \(-\nabla f\) 滚向局部极小 —— 机器学习中“梯度下降”的几何图像。

\(f(x)=\sum_{k\ge0}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\)。系数由截断幂级数自动微分精确算出。拖动横轴上的蓝色圆点改变展开点 \(a\)。试试 \(\frac{1}{1+x^2}\)：它在实轴上处处光滑，级数却只在 \(|x|<1\) 收敛 —— 因为复平面上 \(\pm i\) 处有极点。实数的谜题，答案在复数里。

矩阵的两列就是基向量 \(\hat\imath,\hat\jmath\) 的去向。拖动绿色和红色箭头的端点：网格随之变形，蓝色区域的有向面积就是行列式；虚线是特征向量方向；单位圆被映成椭圆，其半轴长就是奇异值。

曲面由参数方程 \(\mathbf r(u,v)\) 给出。曲面的正面涂蓝、反面涂白：在环面上两种颜色永不相遇；而在莫比乌斯带和克莱因瓶上，沿着走一圈就会从蓝色走到白色 —— 它们不可定向。最后一个预设展示悬链面到螺旋面的等距变形：曲面弯曲而不拉伸，每一刻都是极小曲面（平均曲率 \(H=0\)）。

\(\zeta(s)=\sum_{n\ge1}n^{-s}\) 经解析延拓定义在整个复平面（\(s\ne1\)）。黎曼猜想断言：所有非平凡零点都落在临界线 \(\operatorname{Re}s=\tfrac12\) 上。上图画出 \(t\mapsto\zeta(\sigma+it)\) 在复平面上的轨迹：当 \(\sigma=\tfrac12\) 时，曲线一次又一次精确地穿过原点；把 \(\sigma\) 拖离 \(\tfrac12\)，它就再也碰不到原点。下图是 \(|\zeta(\sigma+it)|\)。这里用 Borwein 交错级数加速算法计算 \(\eta(s)\)，再由 \(\zeta=\eta/(1-2^{1-s})\) 得到 \(\zeta\)。

二维波动方程 \(u_{tt}=c^2\Delta u-\gamma u_t\) 的有限差分数值解。轻点或拖动水面激起波纹。在双缝预设中，平面波穿过两条狭缝后相互叠加，形成明暗相间的干涉条纹；在透镜预设中，凸透镜区域的波速较慢，波前因此弯折并会聚 —— 折射的本质。

由拉格朗日方程导出的双摆运动方程对初值极其敏感。这里同时释放许多个双摆，它们的初始角度只相差 \(\Delta\theta\)。起初它们像一根摆一样同步摆动；几秒后，微小的差异被指数放大，整束摆像烟花一样散开 —— 蝴蝶效应。最大李雅普诺夫指数 \(\lambda>0\) 是混沌的标志：\(|\delta(t)|\approx|\delta_0|e^{\lambda t}\)。

每颗小球经过 \(n\) 排钉子，每次以概率 \(p\) 向右、\(1-p\) 向左。落入第 \(k\) 格的概率是二项分布 \(\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\)。中心极限定理：当 \(n\) 增大时它趋于正态分布 \(\mathcal N\big(np,\,np(1-p)\big)\) —— 蓝色曲线。无数独立的小随机性，叠加出一条确定的钟形曲线。

极限关心的是无限接近时的趋势。让 \(h\) 逐渐缩小，同时观察 \(x=-h\) 和 \(x=+h\) 两侧的函数值。图中纵轴是 \(f(x)-L\)，虚线 \(0\) 代表参考极限；开启“局部放大”，继续观察越来越小的差异。

拖动曲线上的点，或调节 \(x_0\) 与间隔 \(h\)。蓝点是 \(P\)，青点是 \(Q\)；当两点逐渐靠近，割线的斜率趋近切线斜率。可以从左右两侧观察同一个导数。

用有限个矩形估计曲线下的有向面积。切换左端点、中点和右端点取样，增加分割数 \(n\)，比较近似值与定积分。横轴下方的矩形贡献负面积。

橙色横带是允许的函数值误差，蓝色竖带是你选择的自变量范围。调节 \(\delta\)，让竖带内、去掉中心点后的整段曲线都落入横带。判定采用解析误差界，不依赖有限个采样点。

从初始点 \(x_0\) 出发，在曲线上作切线，取它与横轴的交点作为下一次近似。逐步推进，观察收敛、零导数以及两点循环。初始点不同，迭代的命运也可能不同。

在正方形内均匀随机撒点，用落在单位圆内的比例估算 \(\pi\)。青点在圆内，橙点在圆外。样本增多通常让估计更稳定，但误差不会每一次都单调减小。

拖动散点，拟合直线会随之改变；点击空白可添加点。比较普通数据、离群点与竖直点列，观察为什么我们最小化的是竖直残差的平方和，以及什么时候斜率无法确定。

设想一个识别稀有目标的检测器。调节目标的先验比例、检出率和非目标排除率，比较“被标记为目标”和“确实是目标”的区别。基率很低时，误报可能占据被标记样本的大多数。

选择起终点，逐步查看已确定的节点和暂定距离。点击边可选择它，再调整权重。打开编辑模式后，点击空白添加节点，依次点击两个节点连边；图中的边是无向边，权重与画面长度相互独立。

每轮删去保留区间的中间三分之一，把函数在缺口上压平。增加构造层数，观察阶梯如何形成；拖动橙色观察点，比较平台与上升段。下方横条展示保留集合，读数显示当前有限近似 \(F_n\)，不是极限函数的精确求值。